【剑指offer:求礼物的最大价值】动态规划解法,内存击败100%,时间击败96.63%(JavaScript实现)

题目描述:在一个 m*n 的棋盘(grid)的每一格都放有一个礼物,每个礼物都有一定的价值(价值大于 0)。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物,并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值,请计算你最多能拿到多少价值的礼物?

# 解法:动态规划

声明状态数组dp是一个 m*n 的二维数组。dp[i][j]的默认值是 0,它的含义是:在坐标点(i,j)处,能得到的最大价值礼物。所以,整个棋盘的最大价值礼物就是 dp[m-1][n-1] 的值。

现在来看状态转移的过程:

  • 出发点是左上角,且只能向右/下移动,所以第一列和第一行中的 dp 值,就等于:当前礼物价值+上一个 dp 值
  • 对于一般坐标(i,j),dp[i][j] = grid[i][j] + max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

代码实现如下:

// ac地址:https://leetcode-cn.com/problems/li-wu-de-zui-da-jie-zhi-lcof/
// 原文地址:https://xxoo521.com/2020-03-11-max-value-of-gift/
/**
 * @param {number[][]} grid
 * @return {number}
 */
var maxValue = function (grid) {
  const rowNum = grid.length;
  const colNum = grid[0].length;
  const dp = [];
  for (let i = 0; i < rowNum; ++i) {
    dp[i] = [];
    for (let j = 0; j < colNum; ++j) {
      dp[i][j] = 0;
    }
  }

  dp[0][0] = grid[0][0];
  for (let i = 1; i < rowNum; ++i) {
    dp[i][0] = grid[i][0] + dp[i - 1][0];
  }

  for (let j = 1; j < colNum; ++j) {
    dp[0][j] = grid[0][j] + dp[0][j - 1];
  }

  for (let i = 1; i < rowNum; ++i) {
    for (let j = 1; j < colNum; ++j) {
      dp[i][j] = grid[i][j] + Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
    }
  }

  return dp[rowNum - 1][colNum - 1];
};

时间复杂度和空间复杂度都是$O(N^2)$。在 leetcode 上显示,内存击败 100%,时间击败 96.63%:

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