LeetCode 53.最大子序列和 - JavaScript

题目描述:给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

例如对于 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]来说,连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。

虽然这题在 leetcode 上标注的是「简单」难度,但是解法有 4 种,并且都非常具有代表性。比较容易想到的是基础的动态规划法。

# 解法 1:动态规划

定义状态数组dp[i]的含义:数组中元素下标为[0, i]的连续子数组最大和。

状态转移的过程如下:

  • 初始情况:dp[0] = nums[0]
  • nums[i] > 0,那么 dp[i] = nums[i] + dp[i - 1]
  • nums[i] <= 0,那么 dp[i] = nums[i]

代码实现如下:

// ac地址:https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/
// 原文地址:https://xxoo521.com/2020-03-09-max-sub-sum/
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var maxSubArray = function (nums) {
  const dp = [];

  let res = (dp[0] = nums[0]);
  for (let i = 1; i < nums.length; ++i) {
    dp[i] = nums[i];
    if (dp[i - 1] > 0) {
      dp[i] += dp[i - 1];
    }
    res = Math.max(res, dp[i]);
  }
  return res;
};

时间复杂度和空间复杂度都是$O(N)$。

# 解法 2:原地进行动态规划

解法 1 中开辟了 dp 数组。其实在原数组上做修改,用nums[i]来表示dp[i]。所以解法 1 的代码可以优化为:

// ac地址:https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/
// 原文地址:https://xxoo521.com/2020-03-09-max-sub-sum/
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var maxSubArray = function (nums) {
  let res = nums[0];
  for (let i = 1; i < nums.length; ++i) {
    if (nums[i - 1] > 0) {
      nums[i] += nums[i - 1];
    }
    res = Math.max(res, nums[i]);
  }
  return res;
};

不用开辟额外空间,所以空间复杂度降为$O(1)$。

# 解法 3:贪心法

贪心法的题目比较少见,而且一般都比较难证明。本题的贪心法的思路是:在循环中找到不断找到当前最优的和 sum。

注意:sum 是 nums[i]sum + nums[i]中最大的值。这种做法保证了 sum 是一直是针对连续数组算和。

代码实现如下:

// ac地址:https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/
// 原文地址:https://xxoo521.com/2020-03-09-max-sub-sum/
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var maxSubArray = function (nums) {
  let maxSum = (sum = nums[0]);
  for (let i = 1; i < nums.length; ++i) {
    sum = Math.max(nums[i], sum + nums[i]);
    maxSum = Math.max(maxSum, sum);
  }
  return maxSum;
};

空间复杂度为$O(1)$,时间复杂度为$O(N)$

# 解法 4: 分治法

分治法的做题思路是:先将问题分解为子问题;解决子问题后,再将子问题合并,解决主问题。

使用分治法解本题的思路是:

  • 将数组分为 2 部分。例如 [1, 2, 3, 4] 被分为 [1, 2][3, 4]
  • 通过递归计算,得到左右两部分的最大子序列和是 lsum,rsum
  • 从数组中间开始向两边计算最大子序列和 cross
  • 返回 max(lsum, cross, rsum)

整体过程可以参考来自 Leetcode 官方题解的图:

可以看到,分治法可行的关键的是:最大子序列和只可能出现在左子数组、右子数组或横跨左右子数组 这三种情况下。

代码实现如下:

// ac地址:https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/
// 原文地址:https://xxoo521.com/2020-03-09-max-sub-sum/

/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} left
 * @param {number} right
 * @param {number} mid
 * @return {number}
 */
function crossSum(nums, left, right, mid) {
  if (left === right) {
    return nums[left];
  }

  let leftMaxSum = Number.MIN_SAFE_INTEGER;
  let leftSum = 0;
  for (let i = mid; i >= left; --i) {
    leftSum += nums[i];
    leftMaxSum = Math.max(leftMaxSum, leftSum);
  }

  let rightMaxSum = Number.MIN_SAFE_INTEGER;
  let rightSum = 0;
  for (let i = mid + 1; i <= right; ++i) {
    rightSum += nums[i];
    rightMaxSum = Math.max(rightMaxSum, rightSum);
  }

  return leftMaxSum + rightMaxSum;
}

/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} left
 * @param {number} right
 * @return {number}
 */
function __maxSubArray(nums, left, right) {
  if (left === right) {
    return nums[left];
  }

  const mid = Math.floor((left + right) / 2);
  const lsum = __maxSubArray(nums, left, mid);
  const rsum = __maxSubArray(nums, mid + 1, right);
  const cross = crossSum(nums, left, right, mid);

  return Math.max(lsum, rsum, cross);
}

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var maxSubArray = function (nums) {
  return __maxSubArray(nums, 0, nums.length - 1);
};

时间复杂度是$O(NlogN)$。由于递归调用,所以空间复杂度是$O(logN)$

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